Curso para professores de 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Matemática 2 (multiplicação).

O raciocínio combinatório

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• "Os sanduíches da padaria Regência são famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3 tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano. Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto ou mortadela. Quantos tipos de sanduíche a padaria oferece?"

Quem encontra pela primeira vez esse tipo de problema pode não perceber que se trata de uma situação que envolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar de forma desorganizada algumas combinações de pão com recheio.

Vejamos como o problema pode ser resolvido. Para todas as combinações possíveis, precisamos pensar de maneira organizada. Isto pode ser conseguido, por exemplo, com a ajuda de uma tabela retangular.

	salame	queijo	presunto	mortadela
pão de forma	pão de forma com salame	pão de forma com queijo	pão de forma com presunto	pão de forma com mortadela
pão francês	pão francês com salame	pão francês com queijo	pão francês com presunto	pão francês com mortadela
pão italiano	pão italiano com salame	pão italiano com queijo	pão italiano com presunto	pão italiano com mortadela

Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo:

Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore (deitada), é conhecido como árvore das possibilidades.

Tanto com a tabela retangular como com a árvore das possibilidades, podemos obter a solução do problema: contamos os tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos. O que não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação.

Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pão temos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, os sanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12.

Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheio para obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de racicínio combinatório, o qual leva á multiplicação.

Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de "desenho" do raciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos", dando um total de 12.

Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, como no caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação. Mas, quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginou desenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios?

Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.

• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição de algarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantos números podem ser escritos nestas condições?"

Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginar escrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas no problema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades.

Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usado nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenas temos duas maneiras de escolher o das dezenas.

Ao escrever o algarismo das unidades não podemos repetir nenhum dos dois que já foram usados nas centenas e dezenas. Logo, para cada uma das maneiras de escrever os dois primeiros algarismos temos uma só escolha para o último dígito.

Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.

No módulo 1 propusemos alguns problemas parecidos com este que acabamos de resolver. Naquela ocasião, ao resolver os problemas, não exploramos o raciocínio combinatório.

O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles!

• "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser escritos nestas condições?"

Vamos construir a árvore das possibilidades para este problema:

Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma delas, há 3 maneiras de escolher o dígito das dezenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolher aqueles dois dígitos. Para cada uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolha para o algarismo das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades podemos ver quais são estes números.

No aprendizado da multiplicação, os problemas combinatórios são um ítem importante. No entanto, em muitos desses problemas é difícil perceber a presença da multiplicação, até para nós, professores. Sugerimos então que, primeiramente, os alunos usem tabelas ou árvore de possibilidades, até descobrirem que podem resolvê-los utilizando a multiplicação.

A variedade de situações relacionadas com a multiplicação

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Vimos até aqui duas situações básicas em que a multiplicação é empregada:

• para substituir uma adição de parcelas iguais;
• para obter o total de possibilidades no raciocínio combinatório.

No entanto, essas situações não esgotam as diversas maneiras de se explorar o uso da multiplicação. Essa operação aparece em outras situações que, embora relacionadas com as já vistas, podem parecer novas para os alunos. Vamos ver alguns exemplos:

• Às vezes a multiplicação está "escondida". Ao ler o número 460, dizemos quatrocentos e sessenta. Você percebeu a multiplicação que está ai?

Quatrocentos significa quatro vezes o cem; sessentacorresponde a seis grupos de dez, isto é, seis vezes o dez. A multiplicação está presente na nossa maneira de escrever e de ler os números, embora nem sempre nós lembremos disso. É o princípio multiplicativo da numeração indo-arábica, que vimos no módulo 1, lembra-se?

• "Na auto-estrada BR-pi há um posto de pedágio a cada 40 quilômetros. Um motorista sai de Triângulo Citi, localizada logo após um pedágio, em direção a Hexagolândia, também localizada logo após um outro pedágio. Neste percurso, o automóvel passou por 5 postos de pedágio. Qual é a distância entre as duas cidades?"

O problema é bastante simples. Uma adição de parcelas iguais conduz á multiplicação:

40 + 40 + 40 + 40 + 40 = 5 x 40

Bem, até aqui nada de novo. Entretanto, neste problema podemos explorar o aspecto aditivo da multiplicação, trabalhando sobre a reta numérica. Sabemos bem como esta idéia é importante na matemática.

• "Quantas caixas de refrigerante o caminhão carrega?"

Para encontrar a resposta a este problema, devemos perceber que as caixas estão organizadas em 4 camadas, sendo que, em cada camada, há 6 x 5 caixas.

Portanto, o número de caixas é igual a 4 x 6 x 5 = 120.

Problemas deste tipo facilitarão, posteriormente, o cálculo de volumes. Para compreender que 1 m³ é igual a 1000 litros é necessário o mesmo raciocínio usado para calcular o número de caixas transportadas pelo caminhão.

Repare ainda que este problema usa a idéia da organização retangular de maneira ampliada.

Os exemplos aqui apresentados mostram que há diferentes situações envolvendo a multiplicação. Para nós que já estamos acostumados com esta operação, ás vezes é difícil perceber as diferenças entre elas. Entretanto, para o aluno, estas diferenças constituem, muitas vezes, dificuldades a serem superadas. Para esta superação, a atuação do professor é fundamental.

Além de identificar e respeitar estas dificuldades do aluno, precisamos compreender que esta enorme variedade de situações relacionadas com a multiplicação contitui-se uma riqueza que não pode ser desprezada no processo de ensino-aprendizagem da matemática. Por isso é fundamental, no trabalho com a multiplicação, explorar todas elas.

Obrigado pela visita, e no próximo matemática das séries iniciais 3 vamos postar sobre,

Quando multiplicar nas expressões numéricas, te espero até lá.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t5.htm

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