Curso para professores de 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental. Matemática.(divisão parte 2).

Quando devemos dividir?

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"Você precisa distribuir 72 ovos em 6 cestos de modo que não sobrem ovos e todos os cestos tenham a mesma quantia de ovos. Quantos ovos deverá colocar em cada cesto?

"Você precisa guardar 90 ovos em caixas iguais. Cada caixa deverá conter 18 ovos. Não devem sobrar ovos. Quantas caixas serão necessárias?

Compare as duas situações-problema.

Do ponto de vista do adulto, que já domina a divisão, podemos até afirmar que as duas situações se equivalem, na medida em que ambas são resolvidas com uma simples divisão. No primeiro caso a resposta é 72 : 6 = 12, e no segundo é 90 : 18 = 5.

Entretanto, para a criança das primeiras séries escolares, essas situações são distintas. Com algum esforço vamos nos colocar no lugar desse aluno, procurando entender como ele pensa.

Observemos uma criança que tenta resolver concretamente aqueles problemas. Ela poderá enfrentar a primeira situação assim: observa o cesto cheio de ovos, olha para os seis cestos vazios, faz uma estimativa e resolve colocar 6 ovos em cada cesto.

A seguir observa os ovos que sobraram no cestão, faz nova estimativa e decide colocar mais 4 ovos em cada cesto.

Olha o que sobrou e distribui mais 1 ovo para cada cesto. Finalmente põe 1 ovo em cada cesto e verifica que o cestão ficou vazio.

Depois conta e descobre que colocou ao todo 12 ovos em cada cesto.

Agora observemos a criança resolvendo concretamente o segundo problema. Ela poderia completar a primeira caixa, depois a segunda, a terceira e assim por diante até que o cestão ficasse vazio.

Descobriria então serem necessárias 5 caixas.

Aos olhos da criança, qual é a diferença entre estas duas situações?

Veja bem: uma vez resolvidos os problemas, tanto num caso como no outro, temos a formação de grupos de ovos. No primeiro são 6 grupos de 12 ovos e no segundo 5 grupos de 18 ovos. Acontece que, no primeiro problema, o número de grupos a serem formados é conhecido de antemão ao passo que, na segunda situação, o número de grupos a serem formados, isto é, o número de caixas, é desconhecido. É por isso que, no segundo problema, a estratégia de solução não pode ser a mesma do primeiro. A criança não poderia ir colocando o mesmo número de ovos em cada caixa, simplesmente porque não sabe quantas caixas serão necessárias. A primeira situação está próxima do sentido usual que se dá para a divisão: repartir, distribuir (igualmente) uma certa quantidade em um número conhecido de grupos. No problema apresentado isto é representando assim: 72 : 6 = 12.

Quando as crianças resolvem concretamente o segundo problema, da maneira como descrevemos, e pedimos que registrem o que fizeram usando símbolos matemáticos, elas costumam escrever:

18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 90

ou

5 x 18 = 90

ou

18 + 18 = 36

36 + 18 = 54

54 + 18 = 72

72 + 18 = 90

5 grupos de 18 completam 90.

ou ainda

90 - 18 = 72

72 - 18 = 54

54 - 18 = 36

36 - 18 = 18

18 - 18 = 0

Em 90 cabem 5 grupos de 18.

Observe como estes registros refletem o raciocínio da criança. Eles mostram o seu modo de pensar. O fato de não escreverem 90 : 5 = 18 (ou 90 : 18 = 5) é sintomático. Além de não usarem estes dois últimos registros, os alunos, em geral, resistem em aceitá-los. Isso mostra a dificuldade que sentem em "enxergar" a divisão no segundo problema. De fato, nessa segunda situação, a divisão se apresenta com uma outra faceta. Não se trata de distribuir uma certa quantidade em um número conhecido de grupos, mas sim de saber quantos grupinhos cabem no "grupão", quantos 18 cabem em 90.

Leia novamente o título deste item. Ele contém uma pergunta. Vamos repondê-la. Há dois tipos de situações-problema que levam à divisão:

Situação-problema	1. Temos uma quantidade conhecida e queremos repartí-la num certo número de grupos.	2. Queremos saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra.
Pergunta-chave	Quanto em cada grupo?	Quantos grupos?

Operações inversas

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Gilberto Gil, num dos versos da música Copo Vazio, lembra que um copo vazio está cheio de ar!

Se enchermos um copo de água e a seguir o esvaziarmos ele volta a ficar cheio de ar.

Responda rápido: o avesso do avesso é avesso ou é direito?

Quando uma operação desfaz outra realizada anteriormente, determinando a volta ao estado original, dizemos que uma é a inversa da outra.

Vejamos mais alguns exemplos:

A adição e a subtração são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez. Se a um número a somamos o número b, obtemos o número c, então de c subtraimos b, voltamos ao número a. Essa idéia pode ser representada assim:

Da mesma forma:

Entre a multiplicação e a divisão há uma relação parecida com a que existe entre a adição e a subtração. Veja os exemplos:

A multiplicação e a divisão são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez. Se o número a é multiplicado pelo número b, obtendo-se o número c, então, dividindo c por b voltamos ao número a.

Da mesma forma:

Em outras palavras essa idéia pode ser expressa assim: dividir o número a pelo número b significa encontrar o número c que, multiplicado por b, dá a. Assim, por exemplo, dividir 793 por 13 significa encontrar o número que multiplicado por 13 dá 793. Que número é este?

De fato, 61 x 13 = 793.

Nesse cálculo mental, a divisão de 793 por 13 foi efetuada com base na relação inversa existente entre a multiplicação e a divisão. Ela não foi efetuada assim:

Nomenclatura: quando a : b = c chamamos a de dividendo, b de divisor e c de quociente. Por exemplo, na divisão de 793 por 13, 793 é o dividendo, 13 é o divisor e 61 é o quociente.

Dividendo, divisor, quociente e resto

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Duas situações-problema nos ajudarão a construir alguns conceitos.

"Quantas semanas há em um ano?"



Um ano não bissexto tem 365 dias e a semana tem 7 dias. Queremos saber quantas semanas há em um ano, ou seja, quantos grupos de 7 há em 365. Este cálculo pode ser feito mentalmente.



Como 365 = 7 x 52 + 1 , concluímos que um ano não bissexto tem 52 semanas e 1 dia. O problema proposto nos levou a uma divisão não exata. Esta divisão, que deixa resto 1, pode ser representada assim:



"Vovô Hermínio, que tem 7 netos, comprou 1 cento de balas. Sem dizer quantas balas havia no saco, entregou-o às crianças com a recomendação de que distribuíssem as balas igualmente entre elas."



Sentadas no chão, formando uma roda, as crianças decidiram pegar 10 balas cada uma. O saco ia passando de mão em mão e cada uma, na sua vez, retirava suas balas. Vovô observava os netos.



Na segunda rodada as crianças decidiram pegar mais 3 balas cada uma. Isto feito, olharam as balas que ainda restaram no saco e as entregaram ao vovô, com a recomendação que as repartisse com a vovó.



Na terceira rodada cada neto pegou uma bala. As duas restantes ficaram para os avós.

Após a primeira rodada cada criança tinha 10 balas e restavam 30 no saco: 100 = 7 x 10 + 30. Era possível prosseguir a distribuição. Após a segunda rodada cada uma tinha 13 balas e restavam 9 no saco: 100 = 7 x 13 + 9. Nesse momento, apesar de ser possível ainda prosseguir, os netos deram por encerrada a distribuição. Mas o avô pediu que prosseguissem e, após a terceira rodada, cada um tinha 14 balas. Restavam 2 no saco: 100 = 7 x 14 + 2.
Neste ponto, como 2 é menor do que 7, e não havia a intenção de fracionar as balas, a divisão se encerrou.

As idéias presentes nas situações anteriores estão embutidas na definição de divisão de números naturais.

Dividir um número natural a pelo número natural b significa encontrar outros dois números naturais q e r que obedeçam a estas condições: a = b x q + r , e , r <>.

Representamos a divisão assim:

O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto.

EXEMPLOS:

Vejamos a divisão




Como 100 = 15 x 6 + 10 , e , 10 <>

É verdade que 23 = 7 x 2 + 9
Entretanto não é correto afirmar que, na divisão de 23 por 7, o quociente é 2 e o resto é 9, pois 9 é maior do que o divisor 7 e, portanto, ainda podemos continuar a divisão.
A divisão correta é:



A "divisão" abaixo está errada pois, apesar de 9 ser menor que 16, não é verdade que : 127 = 16 x 8 + 9
A divisão correta é:

Nesta parte da lição abordamos uma série de conceitos e idéias relacionadas com a divisão. Na parte 2 veremos o cálculo mental, as propriedades e as técnicas de cálculo referentes a essa operação.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t6.htm

E no próximo matemática divisaõ 3, postaremos exercícos de divisão. Estou te esperando até lá.

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