Introdução aos números racionais
Quando começa o aprendizado dos racionais, tudo o que as crianças sabiam sobre o sistema numérico é colocado em questão
Iracy Paulina (novaescola@atleitor.com.br)
EVOLUÇÃO GRADUAL A partir do 4º ano, a garotada conhece o
modo de representar partes de um todo.
Foto: Rogério Albuquerque e ilustração Carlo Giovani
Depois de conhecer e dominar as regras sobre os números naturais,
chega o momento de os alunos se familiarizarem com outra classe: as
frações. Nos primeiros contatos, eles tentam transpor os conhecimentos
já adquiridos sobre os números inteiros para esse outro universo
numérico. De acordo com Claudia Broitman, da Universidade Nacional de La
Plata, isso representa ao mesmo tempo um obstáculo - que pode ser
vencido com atividades bem conduzidas - e um ponto de apoio para a nova
aprendizagem (leia entrevista no quadro abaixo). Nessa etapa, as
crianças enfrentam o desafio de descobrir que com os racionais elas
podem continuar a fazer as mesmas atividades que desenvolviam com os
naturais. Porém, para isso, precisam deixar de lado alguns saberes já
construídos para que outros sejam produzidos. "Cabe à escola
proporcionar situações em que fiquem claras as diferenças entre os
conjuntos para que as crianças confrontem os saberes", afirma Héctor
Ponce, pesquisador argentino de Didática da Matemática. Levar os alunos a
ref letir sobre o que são frações e para que elas servem é um caminho.
As primeiras noções já podem ser introduzidas no 2o e no 3o ano do
Ensino Fundamental, nas formas mais simples, como 1/2 e 1/3. "Ou até
mesmo antes, se o professor sentir necessidade de usar tais
representações na realização de alguma atividade", diz Daniela Padovan,
professora do Colégio Friburgo e da EE Professora Marina Cintra, ambas
em São Paulo. Um exemplo é quando aparece "suco de 1/2 limão" ou "1 e
1/2 copo de leite" em uma receita usada em atividades de leitura. "Essa é
uma boa oportunidade para explorar também com os menores o significado
dessas informações, discutindo a maneira de escrever, sem precisar dar
uma aula sobre o tema ou falar em conceitos", declara Daniela.
5 perguntas para Claudia Broitman
Claudia Broitman. Foto: Rogério Albuquerque
Historicamente, os fracionários foram criados para dar conta de questões que os naturais não podem resolver. Os problemas que se apresentam envolvendo esses números são muito mais complexos para os estudantes. O aprendizado implica romper com muitas das certezas e dos saberes que as crianças construíram desde o início da vida escolar. Considerar essas rupturas é uma forma bastante efi caz de jogar luz sobre a origem das difi culdades enfrentadas na aprendizagem desse novo campo numérico e, com isso, ajudar todos os alunos a avançar
Como evitar a confusão com os números naturais?
O professor pode antecipar esses erros e gerar discussões em torno deles. Os estudantes percebem quais as certezas, as propriedades e as relações dos naturais que funcionam com as frações e quais não podem ser transportadas. Dessa forma eles tomam consciência das diferenças entre os campos numéricos, e isso ajuda no avanço dos conhecimentos.
Que estratégias aproximam esse conteúdo da vida dos alunos?
Nos início da escolaridade, entre o 2º e o 4º ano, já é possível iniciar o trabalho com questões que envolvam metades e quartos relacionados a medidas de peso, capacidade e tempo. Quer alguns exemplos? "Temos nas gôndolas do supermercado garrafas de 1 litro e 1/2, de 2 litros e 1/4 e de 1/2 litro de refrigerante. Preciso comprar 5 litros. Quais delas eu devo escolher?" Ou: "Eduardo comprou 3/4 de quilo de sorvete de chocolate, 3/4 de quilo de sorvete de baunilha e 1/2 quilo de sorvete de frutas. No total, ele comprou mais ou menos que 3 quilos?" Ou ainda: "Laura faz 1/2 hora de ginástica na segunda-feira, 3/4 de hora na terça, 1/4 de hora na quarta e 1 hora e 1/2 na quinta e na sexta. Em uma semana, ela faz mais ou menos que 4 horas de exercícios físicos?" Problemas como esses despertam o hábito do cálculo mental em situações fora do âmbito escolar.
Por que usar o contexto social nas questões propostas?
O uso social permite aos alunos recorrer a conhecimentos extra-escolares como apoio para analisar os resultados e controlá-los, ao mesmo tempo que será fonte de outros problemas e o início da sistematização de novas relações. Mas será necessário promover um salto desse uso intuitivo e informal, aprofundando sempre a análise de tais conceitos, o que vai acontecer entre o 4o e o 9o ano.
O que as crianças aprendem?
A intenção é familiarizá-las com a escrita e fazer com que os termos sejam incorporados à linguagem coloquial. Elas desenvolvem recursos de cálculos de equivalência sem recorrer a nenhum algoritmo.
Situações do cotidiano
A partir do 4º ano, o estudo constante dos números racionais se torna necessário, pois eles começam a aparecer em diversas situações científicas e do diaa- dia que precisam ser compreendidas. Utiliza-se esse sistema numérico quando se fazem medições e sobra uma parte que não corresponde a uma unidade de medida inteira, ao comprar meio quilo de algum mantimento, ao dividir a pizza em pedaços iguais etc. São momentos em que os naturais não dão conta de representar a realidade. Na história da numeração, as frações surgiram justamente para resolver tais impasses. Conhecer o funcionamento e as regras dessa classe numérica é fundamental para que o aluno continue a aprofundar os conhecimentos ao longo da vida escolar em álgebra e em fórmulas de Física, por exemplo. Por enquanto, porém, os alunos dos primeiros anos do Ensino Fundamental devem aprender a reconhecer as frações e as situações em que seu uso se faz necessário e aprender a compará-las e ordená-las. Além disso, precisa saber realizar somas e subtrações envolvendo as que têm o mesmo denominador ou recorrer às equivalentes quando os denominadores forem diferentes. Os alunos também devem saber reconhecer as que representam quantidades, principalmente as mais usadas, como 1/2, 1/3, 1/4, 1/10, 1/100 etc., e a realizar cálculos com elas. A questão é como ensinar esse conteúdo aos estudantes, fazendo com que eles compreendam as características e particularidades desse sistema numérico diferente. Segundo Ponce, o ensino tradicional segue uma lógica linear que nada tem a ver com a produção do conhecimento: "Em geral se começa com a definição conceitual, a classificação, a comparação e a equivalência, para só depois ingressar nas operações, nas frações decimais, e na medida e nas situações em que elas são de fato utilizadas". Para questionar esse procedimento, Héctor Ponce apresenta um problema: se 4 alunos tiverem de repartir 6 biscoitos entre eles, em partes iguais, várias possibilidades podem aparecer: dividindo cada biscoito em 4, caberão 6/4 para cada um; partindo-os na metade, restam 3/2 por criança; e cada uma pode ficar ainda com 1 bolacha inteira e 2/4 ou 1 inteira e 1/2. "A análise de uma situação como essa expõe desde o começo a insuficiência dos números naturais para lidar com a questão das partes, ao mesmo tempo que introduz a noção de equivalência dos resultados", diz ele.
Discutir soluções
Para aprofundar o aprendizado, as frações devem aparecer em contextos variados que levem os estudantes a realizar com elas as mesmas atividades que desenvolvem com os números naturais, como somar, dividir e ordenar. "É preciso fazer com que a turma estabeleça relações entre as frações ou entre os problemas que elas ajudam a resolver desde o início do aprendizado", conclui Ponce. É importante oferecer oportunidades de confrontar idéias. "O debate força os alunos a explicitar suas hipóteses, ref letir sobre as dos colegas, desenvolver a capacidade de argumentação e reelaborar o pensamento inicial", afirma a professora Daniela Padovan. Para estimular a discussão, coloque-os para conversar sobre as diferentes soluções produzidas diante de um determinado problema e proponha desafios em que seja possível testar as diversas estratégias. A professora sugere o trabalho com divisões de papéis, com quantidades discretas (que podem ser contadas) e contínuas (áreas, volumes etc.), para que haja compreensão desse universo numérico. Assim, é possível assimilar com mais facilidade que, no domínio dos números naturais, 3 é maior que 2, mas que no das frações 1/3 é menor que 1/2.
A partir do 4º ano, o estudo constante dos números racionais se torna necessário, pois eles começam a aparecer em diversas situações científicas e do diaa- dia que precisam ser compreendidas. Utiliza-se esse sistema numérico quando se fazem medições e sobra uma parte que não corresponde a uma unidade de medida inteira, ao comprar meio quilo de algum mantimento, ao dividir a pizza em pedaços iguais etc. São momentos em que os naturais não dão conta de representar a realidade. Na história da numeração, as frações surgiram justamente para resolver tais impasses. Conhecer o funcionamento e as regras dessa classe numérica é fundamental para que o aluno continue a aprofundar os conhecimentos ao longo da vida escolar em álgebra e em fórmulas de Física, por exemplo. Por enquanto, porém, os alunos dos primeiros anos do Ensino Fundamental devem aprender a reconhecer as frações e as situações em que seu uso se faz necessário e aprender a compará-las e ordená-las. Além disso, precisa saber realizar somas e subtrações envolvendo as que têm o mesmo denominador ou recorrer às equivalentes quando os denominadores forem diferentes. Os alunos também devem saber reconhecer as que representam quantidades, principalmente as mais usadas, como 1/2, 1/3, 1/4, 1/10, 1/100 etc., e a realizar cálculos com elas. A questão é como ensinar esse conteúdo aos estudantes, fazendo com que eles compreendam as características e particularidades desse sistema numérico diferente. Segundo Ponce, o ensino tradicional segue uma lógica linear que nada tem a ver com a produção do conhecimento: "Em geral se começa com a definição conceitual, a classificação, a comparação e a equivalência, para só depois ingressar nas operações, nas frações decimais, e na medida e nas situações em que elas são de fato utilizadas". Para questionar esse procedimento, Héctor Ponce apresenta um problema: se 4 alunos tiverem de repartir 6 biscoitos entre eles, em partes iguais, várias possibilidades podem aparecer: dividindo cada biscoito em 4, caberão 6/4 para cada um; partindo-os na metade, restam 3/2 por criança; e cada uma pode ficar ainda com 1 bolacha inteira e 2/4 ou 1 inteira e 1/2. "A análise de uma situação como essa expõe desde o começo a insuficiência dos números naturais para lidar com a questão das partes, ao mesmo tempo que introduz a noção de equivalência dos resultados", diz ele.
Discutir soluções
Para aprofundar o aprendizado, as frações devem aparecer em contextos variados que levem os estudantes a realizar com elas as mesmas atividades que desenvolvem com os números naturais, como somar, dividir e ordenar. "É preciso fazer com que a turma estabeleça relações entre as frações ou entre os problemas que elas ajudam a resolver desde o início do aprendizado", conclui Ponce. É importante oferecer oportunidades de confrontar idéias. "O debate força os alunos a explicitar suas hipóteses, ref letir sobre as dos colegas, desenvolver a capacidade de argumentação e reelaborar o pensamento inicial", afirma a professora Daniela Padovan. Para estimular a discussão, coloque-os para conversar sobre as diferentes soluções produzidas diante de um determinado problema e proponha desafios em que seja possível testar as diversas estratégias. A professora sugere o trabalho com divisões de papéis, com quantidades discretas (que podem ser contadas) e contínuas (áreas, volumes etc.), para que haja compreensão desse universo numérico. Assim, é possível assimilar com mais facilidade que, no domínio dos números naturais, 3 é maior que 2, mas que no das frações 1/3 é menor que 1/2.
Dificuldades à vista
Para entender os números
racionais, os estudantes precisam vencer alguns obstáculos relacionados
aos números naturais com a ajuda do professor: As propriedades Números naturais ou inteiros sempre aparecem em uma seqüência: 1, 2, 3, 4, 5, 6 etc. Mas o que vem depois de 1/2? E depois de 7/8? "A propriedade de ter um sucessor ou um antecessor é característica exclusiva dos naturais", explica Hector. A densidade é uma das particularidades dos números racionais: entre dois deles existe uma infinidade de outros. As crianças também tendem a utilizar as regras de funcionamento dos naturais ao fazer operações. Quando se multiplica um inteiro por outro, sendo este distinto de zero ou 1, o resultado é sempre maior do que os fatores. Exemplo: 3 x 4 = 12. O mesmo não acontece com as frações. Peça que os alunos multipliquem 4 x 1/2. Certamente ficarão admirados ao perceber que o resultado é 2. Na divisão de naturais, o quociente Dificuldades à vista (se for diferente de 1) é sempre menor que o dividendo. Nos racionais, porém, é possível que ele seja maior. Exemplo: 2 : 1/4 = 8.
Os algoritmos A forma de escrever frações reforça o obstáculo representado pelos naturais no aprendizado dos racionais. Héctor Ponce dá como exemplo a multiplicação 2/3 x 3/5 = 6/15. Para obter o resultado dessa operação, provavelmente será ensinado que basta fazer 2 x 3 e 3 x 5 (ou seja, multiplicar entre si os numeradores e depois os denominadores), transformando em uma operação de inteiros. "Os algoritmos não devem ser enfatizados, sob pena de empobrecer os sentidos desse campo da Matemática", afirma ele. Sem contar que, com isso, o professor reforça uma hipótese dos alunos de que uma fração não é um número, mas dois.
O que são frações?
Ilustração: Carlo Giovani
As frações positivas e negativas, assim como os naturais e os inteiros, formam os números racionais. No Ensino Fundamental, os alunos trabalham apenas com os racionais positivos, ou seja, maiores ou iguais a zero. Um mesmo número racional nada mais é que uma família composta de diversas frações equivalentes. Exemplo: 1/2 = 2/4 = 4/8, e assim por diante. O racional é representado pelo quociente A/B, em que A e B são inteiros e B é diferente de zero.
Ilustração: Carlo Giovani
Expressar o resultado de uma medição não exata.
Exemplo: Se o retângulo mede 1, quanto mede a parte em destaque?
Expressar uma divisão.
Exemplo: Tenho 5 doces para repartir em partes iguais entre 3 crianças. Quanto cada uma receberá?
Expressar proporcionalidade.
Exemplo: Na planta de minha casa, 2 centímetros representam 3 metros. Minha cozinha mede 4 x 5 metros. Como ela será representada? Quais as dimensões de um galpão que na planta é um retângulo de 5 x 10 centímetros?
Expressar a relação entre as partes e o todo.
Exemplo: Para fazer uma jarra de suco, misturo 1 copo do líquido concentrado com 5 medidas de água. Se eu quiser fazer menos bebida conservando o mesmo sabor, que doses devo usar? E se quiser fazer mais suco?
Quer saber mais?
Contatos
Daniela Padovan, danielap@superig.com.br
Héctor Ponce, poncehector@fibertel.com.ar
Internet
O link http://educar.sc.usp.br/matematica/mod5.htm reúne as principaisinformações sobre o conteúdo, esclarecendo questões como "É fácil aprender frações?" e "Da escrita mista para a de frações e vice-versa". Em www.matematicahoje.com.br há textos sobre o ensino das frações.
Daniela Padovan, danielap@superig.com.br
Héctor Ponce, poncehector@fibertel.com.ar
Internet
O link http://educar.sc.usp.br/matematica/mod5.htm reúne as principaisinformações sobre o conteúdo, esclarecendo questões como "É fácil aprender frações?" e "Da escrita mista para a de frações e vice-versa". Em www.matematicahoje.com.br há textos sobre o ensino das frações.
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