quinta-feira, 21 de agosto de 2008

Trabalhando com fração.


Fração

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Fração (ou fracção, em português de Portugal) é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim "fractus" e significa "partido", "quebrado" (do verbo "frangere": "quebrar").

Frações da dúzia.
Frações da dúzia.
Representação gráfica de fração. Observa-se facilmente a equivalência entre 2/4 e 1/2.
Representação gráfica de fração. Observa-se facilmente a equivalência entre 2/4 e 1/2.

História

No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas é só parar para pensar um pouquinho para descobrir que nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.

Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no Egito nessa época os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como \frac{a}{b}, designa este número a dividido em b partes iguais. Neste caso, a corresponde ao numerador, enquanto b corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.

Por exemplo, a fração \frac{56}{8} designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por \mathbb Q.

Tipos de Frações

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: \frac{1}{2}
  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: \frac{7}{3}
  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: 2 \frac{1}{3}.Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: 3\frac{1}{2} 2x3=6 6+1=7 (7=numerador/2=denominador)
  • aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: \frac{4}{4}
  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: \frac{4}{4} = \frac{2}{2} 4 e 4 dividos por 2(ou outro número) é igual a 2.
  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: \frac{1}{3}
  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}


  • decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: \frac{437}{100}
  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações: \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}
  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais (a0,a1,a2,a3,...,ak,...) da seguinte maneira a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}

Exponenciação ou Potenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25

Radiciação

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

{\sqrt[2]\frac{1}{4} = {\sqrt[2]{1}\over\sqrt[2]{4}} = {{1}\over{2}}} = 0,5

Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{64} = {4}

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

\frac{4}{8}

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

{{\frac{4:4}{8:4}}} = {{1} \over {2}}

Comparação entre frações

Uma propriedade importante para se comparar frações é a seguinte:

Se \frac{a}{b}\, e \frac{c}{d}\, são frações irredutíveis, com a, b, c e d inteiros positivos, então \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a = c \land b = d\,.

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

\frac{2}{5} ? \frac{3}{7}

O MMC entre 5 e 7 é 35.

{35 \over {5}} = {7} ∴ 7 \times {2} = {14}
{35 \over {7}} = {5} ∴ 5 \times {3} = {15}

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

\frac{14}{35} = \frac{2}{5} e \frac{15}{35} = \frac{3}{7}

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

{\frac{14}{35}} < {\frac{15}{35}} logo {\frac{2}{5}} < {\frac{3}{7}}

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

\frac{7}{3}

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O resto será o numerador da fração mista e o divisor será o denominador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

2 \frac{1}{3}

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Corpo de Frações

Se um conjunto A tem duas operações binárias + e x satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível estender A para um outro conjunto B com operações binárias + e x, de forma que (B,+,x) seja um corpo e as operações (A+B) e (AxB) dêem o mesmo resultado quando efetuadas em A ou em B. Quando possível, temos a construção do corpo de frações.

Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o"

O que é uma fração?
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Uma pizza inteira

Quatro pedaços de pizza

1

4 x 1/4

Qual o significado de uma fração?

Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim:

indica a : b , sendo a e b números naturais e b diferente de 0. a representa o numerador e b, o denominador.

Leitura de frações:

Metade

Um terço

Dois quartos

Três quintos

Um sexto

Quatro sétimos

Sete oitavos

Dois nonos

Um décimo

Dois onze avos

Cinco doze avos

...

...

Um centésimo

Um milésimo

Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, como o próprio nome já diz, são equivalentes.

Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima.

a)

b)

Outros exemplos:

a)

b) Não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível.

Tipos de fração:

- Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador.
Ex: ( 7<9>

- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao denominador.
Exs: ,

Numa fração imprópria temos o seguinte:

Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e sobram 5 sétimos.
Vejam que 7x1+5=12

Outros exemplos:

a)

b)

M.M.C (Mínimo múltiplo comum)

Não há a necessidade de explicar o que é mmc, pois o próprio nome já diz que é o mínimo múltiplo comum. Mas o que isso significa? Vejamos:

Qual o mmc de 4 e 6? Ou seja, qual é o menor divisor de 4 e 6 simultaneamente?

Vejam que 12:3=4, assim como 12:2=6. Portanto, o mmc é 12. Vamos treinar?

m.m.c

3 e 4

12

5 e 30

30

12 e 15

60

8 e 6

24

Adição e subtração de frações:

1) Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador. Vejam os exemplos:

a)

b)

c)

2) Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e transformar em frações de mesmo denominador para depois efetuarmos as operações.

a)

O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos numa fração equivalente de denominador 6.

Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após a soma, se possível, simplifiquem.


b)

O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar e em frações equivalentes de mesmo denominador 12.

Assim:

Multiplicação de frações:

Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto.

a)

b)

c)

Divisão de frações:

Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, simplifique.

a)

b)

c)

d)

e)

Fonte: http://www.exatas.mat.br/fracoes.htm

Alguns vídeos sobre frações.

: bacana98


cmadurao


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